Pátá série dvacátého čtvrtého ročníku KSP

Celý leták, který posíláme také papírově, v PDF.

• Termín série: 4. června 2012 8:00
• Termín CodExové úlohy: 5. června 2012 8:00
• Odevzdávání: elektronicky přes Odevzdávátko
• Jak řešit: viz Návod na teoretické úlohy a Návod na praktické úlohy
• Dotazy ohledně zadání: posílejte na ksp@mff.cuni.cz, nebo se ptejte na Discordu KSP.

Zadání úloh

• 24-5-1: Holubí centrála
• 24-5-2: Labutí broadcasting
• 24-5-3: Struktura organizace
• 24-5-4: Sraz na náměstí
• 24-5-5: Řezání kabelů
• 24-5-6: Minové pole
• 24-5-7: Cesta přes hranice
• 24-5-8: Jak hraje deskovky počítač?

  Milý příteli,

  už je tomu dlouho, kdy jsem se naposledy ozval.
Nezapomněl jsem na Tebe – jen jsem měl poslední
dobou hodně práce kvůli té naší chatě. Před časem
jsi nám říkal, že se máme ozvat, až budeme potřebo-
vat pomoc – tak Ti tedy píšu.

  Chata už je skoro hotová, jen bychom potřebovali
pomoc s jedním výkopem. Mohl by ses někdy stavit
v jižních Čechách? Sešli bychom se na obvyklém
místě, dopravu na chatu zajistím.

  Měj se pěkně,

                                              Edo

24-5-1 Holubí centrála (9 bodů)

Typickým problémem bývalo svolávání srazu. Sraz může vyhlásit libovolný člen organizace, jen musí zajistit, že se informace o času a místě dostane ke všem ostatním.

Vás by zajímalo, kteří členové mohou sraz vyhlásit. Dostanete seznam členů včetně poštovních holubů, které mají jednotliví členové u sebe. Každý poštovní holub má určeno, ke kterému členovi doletí. Máte vypsat ty členy organizace, od kterých vede spojení pomocí holubů ke všem ostatním. Takové spojení samozřejmě může vést přes prostředníky.

Pokud má například organizace 6 členů (s čísly 1 až 6), člen číslo 3 má holuby letící ke členům 1, 2 a 5, člen 5 holuby pro 3 a 6, člen 6 umí poslat zprávu členovi 4 a ostatní nemají žádného holuba, je správným řešením vypsat členy 3 a 5.

Řešení

24-5-2 Labutí broadcasting (11 bodů)

Zpráva pro broadcast se sestavuje následujícím způsobem: Nejprve ji převedete do posloupnosti nul a jedniček, poté seřadíte labutí hejno. Každá labuť odpovídá jednomu bitu. Pokud je bit nulový, zařadíte černou labuť; pokud je jedničkový, zařadíte bílou. Takto seřazené hejno poté vypustíte na oblohu a doufáte, že poletí správným směrem.

V labutím hejnu má první labuť nejtěžší úkol – rozráží vzduch. Proto se labutě postupně střídají. Vždy, když je první labuť unavená, zařadí se na konec hejna, přičemž vedoucí pozici převezme labuť za ní.

Ornitologické oddělení dosud nevymyslelo vhodný přenosový protokol; proto se obracíme na vás.

Máte vymyslet co nejefektivnější přenosový protokol – víte, že při poslání N bitů příjemci dorazí N stejných bitů, ale náhodně rotovaných. Když tedy odešlete 1101, tak může přijít 1101, 1011, 0111 a 1110.

Vymyslete, jak tímto způsobem odeslat zprávu o K bitech, aby na její zakódování bylo potřeba co nejméně reálně odeslaných bitů a stále byla jednoznačně dekódovatelná.

Příklad: Pro K=1 je řešení triviální, vyšleme tu správnou jednu labuť. Pro K=2 vyšleme bity tak, jak jsme je dostali, a druhý z nich zopakujeme. Tedy pokud chceme odeslat xy, tak odešleme xyy. Na zprávu délky 2 jsme tedy spotřebovali 3 bity. Pro K=3 potřebujeme 5 labutí.

5 bodů dostanete, pokud vymyslíte efektivní protokol pro K=8.

Řešení

24-5-3 Struktura organizace (11 bodů)

Abychom minimalizovali riziko odhalení, rozhodli jsme se pro zvláštní organizační strukturu. Každý člen zná jen své podřízené a svého přímého nadřízeného, od kterého dostává rozkazy. Podřízených může být i víc, nadřízeného má každý jediného, s výjimkou právě jednoho velkého šéfa, jenž už nadřízeného nemá. Nikdo není nadřízeným sám sobě, a to ani nepřímo.

Do akce je posílána vždycky skupina členů. Ti mezi sebou potřebují komunikovat, proto skupina musí zůstat souvislá. To znamená, že po odeslání do akce musí každý člen být schopný odeslat zprávu všem ostatním. Zprávy se samozřejmě mohou předávat pouze mezi známými, tedy mezi podřízenými a nadřízenými.

Vás by zajímalo, kolika způsoby můžeme vytvořit libovolně velkou skupinu, kterou pošleme do akce.

Například pokud máme 3 zaměstnance, přičemž zaměstnanec číslo 3 je přímý nadřízený zaměstnanců 1 a 2, tak máme dohromady 6 možností, jak skupinku vytvořit: {1}, {2}, {3}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Zaměstnance 1 a 2 vyslat nemůžeme, protože pak by byli naprosto oddělení.

7 bodů dostanete, pokud úlohu vyřešíte pro strukturu tvořící úplný binární strom. Zde má každý dva nebo žádného podřízeného, navíc všichni bez podřízených „jsou si rovni“ – mají nad sebou stejný počet nadřízených.

Řešení

24-5-4 Sraz na náměstí (11 bodů)

Na vstupu dostanete (ne nutně konvexní) mnohoúhelník představující náměstí, zadaný například posloupností vrcholů. Máte vypsat nejdelší úsečku ve vodorovném směru, která je v mnohoúhelníku celá obsažena.

Příklad:

Tučně je vyznačena hledaná úsečka.

6 bodů dostanete, pokud vyřešíte úlohu pro konvexní náměstí.

Řešení

24-5-5 Řezání kabelů (9 bodů)

Máte dlouhý kabel a chtěli byste ho co nejrychleji nařezat na kusy o délce k₁, k₂, …, k_n. Kabel má celkovou délku K = k₁ + k₂ + …+ k_n. Je namotaný na cívce, před řezáním ho musíte celý odmotat a přeměřit. Při řezání rozdělíte jednu souvislou část kabelu na dvě menší o příslušných délkách. Odmotané kusy jsou dlouhé, takže je musíte ihned namotat na jinou cívku.

Nejvíce času zabere neustálé namotávání a smotávání, samotné řezání lze zanedbat. Každý řez tedy trvá tak dlouho, jaká je délka řezaného kusu kabelu.

Na vstupu dostanete počet úseků a jejich délky. Máte vypsat takové pořadí řezů, které zabere co nejméně času.

Příklad: Pro úseky délek 3 3 3 3 8 je optimálním řešením posloupnost řezů 20 →8 + 12, 12 →6 + 6, 6 →3 + 3, 6 →3 + 3.

Řešení

24-5-6 Minové pole (13 bodů)

Taková typická hraniční mina má určenou oblast, kde detekuje pohyb – když se sem něco dostane, tak vybouchne a celou ji zničí. Miny byly pokládány do čtvercové sítě, navíc při výbuchu zničí pouze obdélníkovou oblast kolem sebe. Minové pole je obdélníkové.

Máte detektor kovů, víte tedy, kde se jaká mina nachází, a z jejich velikostí víte, jakou oblast daná mina kontroluje. Pro každé pole čtvercové sítě by vás zajímalo, kolik min vybouchne, když na něj šlápnete.

Na vstupu dostanete rozměry minového pole (počet řádků a počet sloupců čtvercové sítě: R a S) a seznam min spolu s oblastí, kterou daná mina kontroluje (zadanou levým horním a pravým spodním rohem).

Pokud obdélník začíná a končí na stejném řádku, resp. sloupci, tak je jedno políčko široký, resp. vysoký.

Vypište matici o rozměrech R×S, kde je na pozici (i, j) uvedeno číslo udávající počet min, které vybouchnou při šlápnutí na toto pole.

Tato úloha je praktická a řeší se ve vyhodnocovacím systému CodEx. Přesný formát vstupu a výstupu, povolené jazyky a další technické informace jsou uvedeny v CodExu přímo u úlohy.

U prvních 5 vstupů bude zadané pole jednorozměrné – vyřešením získáte 7 bodů.

Řešení

24-5-7 Cesta přes hranice (13 bodů)

Odborník sídlí v německém Pasově. Potřebujete se k němu dostat a následně ho dopravit do Prahy. Cestou budete muset několikrát překročit hranice. To je menší problém, protože nemáte platný pas. Máte však několik výmluv, které můžete při průjezdu použít – abyste zabránili odhalení, můžete každou použít pouze jednou. Samozřejmě jich máte jen konečně mnoho a neměli byste jimi plýtvat, aby vám něco zbylo i na příště. Na druhou stranu si vás celníci zapamatují a při každém dalším průjezdu stejnou celnicí vás už kontrolovat nebudou.

Na vstupu dostanete mapu oblasti – seznam měst a cest mezi nimi, včetně vzdáleností. Dále u každého města víte, jestli je v něm celnice, nebo ne. Taky dostanete pozici Linze (zde začínáte), Pasova (tam se musíte zastavit) a Prahy (tam musíte skončit).

Nalezněte a vypište nejefektivnější cestu. Primárně se snažíte minimalizovat počet průjezdů celnicemi, sekundárně ujetou vzdálenost.

7 bodů získáte za vyřešení úlohy pro zapomnětlivé celníky. Ti si váš průjezd celnicí nezapamatují, takže při každém dalším průjezdu jejich celnicí musíte použít novou výmluvu.

Řešení

24-5-8 Jak hraje deskovky počítač? (15 bodů)

Herní seriál se blíží ke svému konci a je třeba mu nasadit korunku. Po dvou dílech o matematických hrách a jejich řešení přinášíme díl o hrách mnohem složitějších, které jen tak na papíře vyřešit neumíme. Můžete si představovat například šachy, dámu, piškvorky pět v řadě nebo jinou deskovku pro dva hráče.

V první sérii byl probrán algoritmus Minimax, v druhé jeho vylepšení pomocí Alfa-beta ořezávání. Pak uběhla celá zima, během níž možná leckomu algoritmy v paměti roztály jako jarní sníh. Zopakovat oba by však bylo na dlouho, takže se budeme muset spokojit s Minimaxem. K pochopení dalšího textu a úkolu by nám měl stačit.

Strom hry a Minimax

Situace je následující: máme hru bez náhody a chceme najít z její určité pozice co nejlepší tah. Když se však podíváme na jednotlivé tahy, neumíme jednoduše určit, který povede k výhře a který ne. Proto budeme muset prozkoumat i pozice, do nichž vedou naše tahy, což provedeme rekurzivně (tím samým algoritmem).

V podstatě procházíme tzv. herním stromem – jeho kořenem je pozice, pro niž hledáme nejlepší tah, synové kořene jsou pozice vzniklé po jednom našem tahu, jejich synové jsou pozice po tahu soupeře atd. Listy stromu jsou buď pozice, kde jsme vyhráli, nebo pozice, v nichž vyhrál soupeř (na remízu na chvíli zapomeňme).

Nechť jsme prošli rekurzivně celý strom. Jak zjistit, který tah vede do pozice pro nás vyhrané? (To je taková pozice, v které při dokonalé strategii obou hráčů vyhrajeme my.) Pomůže nám k tomu ohodnocování uzlů stromu, čili pozic.

Listy ohodnotíme tak, že pro nás vyhrané pozice budou ∞ a pro soupeře -∞. Ostatním vrcholům přiřadíme hodnotu, až když máme ohodnocené jejich syny. Pokud jsme na tahu my, vezmeme maximum z ohodnocení synů (tedy ∞ odpovídající naší výhře, pokud tam je), soupeř na tahu zase bere minimum.

V praxi nejsme většinou schopni propočítat celý herní strom (s výjimkou jednoduchých her nebo pozic v koncovce), proto je dobré prohledávání ukončit v určité hloubce (odpovídající počtu odehraných tahů z kořene).

Prohledáváním jen do určité hloubky však získáme listy, které pro nás nejsou vyhrané či prohrané. Ty musíme ohodnotit heuristickou funkcí, která bude pro danou pozici vracet, jak moc pravděpodobné je, že v ní vyhrajeme. Když je lepší pro nás, vrátí kladné číslo, když pro soupeře, vrátí záporné. Vyrovnaná nebo remízová pozice obdrží 0.

Pokud jsme na tahu, vybíráme maximum ze synů (hráči, který vybírá maximum, budeme říkat Max), soupeř vybírá minimum (a nechť se jmenuje Min), algoritmus se tedy nazývá Minimax. Zde je jeho pseudokód:

// funkce vrací hodnotu pozice a nejlepší tah
def minimax(pozice, hloubka, natahu):
  // jsme v listu
  if hloubka == 0 or konecHry(pozice)
    return (hodnota(pozice), prazdnyTah)

  if natahu == Max:
    nejHodnota = -nekonecno - 1
    nejTah = prazdnyTah
    // projdeme tahy hráče Max
    for p in mozneTahy(pozice, Max):
      (hodnota, tah) =
        minimax(provedTah(p), hloubka - 1, Min)
      if hodnota > nejHodnota:
        nejHodnota = hodnota
        nejTah = p
    return (nejHodnota, nejTah)

  if natahu == Min:
    nejHodnota = nekonecno + 1
    nejTah = prazdnyTah:
    // projdeme tahy hráče Min
    for p in mozneTahy(pozice, Min):
      (hodnota, tah) =
        minimax(provedTah(p), hloubka - 1, Max)
      if hodnota < nejHodnota:
        nejHodnota = hodnota
        nejTah = p
    return (nejHodnota, nejTah)

Pokud vám něco ohledně Minimaxu není jasné, nakoukněte do první série. Též přikládáme obrázek herního stromu prohledaného do hloubky 2:

Algoritmus lze zjednodušit tak, že pokaždé budeme vybírat maximum z hodnot synů, ale musíme pak mezi úrovněmi přenásobit hodnotu pozice číslem -1 a patřičně upravit hodnotící funkci. Zkuste si sami takto upravit pseudokód a ověřit, že dělá to samé. Zjednodušenému algoritmu se říká Negamax (násobení -1 je jakási negace a vždy vybíráme maximum).

Co se týče hodnotící funkce, měla by být velmi rychlá (rychlejší než prohledávání do hloubky o jedna větší s triviální ohodnocovací funkcí).

Minimax je sám o sobě dost neefektivní, protože zkouší všechny možné varianty, jak by hra dále mohla probíhat (i ty nesmyslné). Možným zrychlením výpočtu je proto negenerovat všechny tahy, což může být však mnohdy nebezpečné, protože lze přehlédnout dobrý tah… ale třeba u piškvorek přeskočení dobrého tahu zas tolik nehrozí, viz první sérii.

Algoritmus Alfa-beta ořezávání pak dostaneme z Minimaxu, když si všimneme, že některé uzly ve stromu mohou být pro jednoho z hráčů tak nevýhodné, že do nich určitě nebude hrát. Tyto části herního stromu tedy není potřeba prozkoumávat, mohou být tzv. oříznuty.

Z časoprostorových důvodů odkážeme na podrobnější popis Alfa-beta ořezávání do druhé série.

Transpoziční tabulky

Často se také stane, že k jedné pozici se lze dostat několika různými posloupnostmi tahů, je tedy v herním stromě víckrát. Aby se vždy nemusela znovu a znovu prozkoumávat, uloží se poprvé výsledek výpočtu do tzv. transpoziční tabulky.

Když tedy máme prozkoumat nějakou pozici, nejprve nahlédneme do transpoziční tabulky, není-li tam. Pokud ano a byla už prohledána do stejné hloubky, jako chceme, vrátíme uložený výsledek, jinak provedeme výpočet a pozici uložíme.

Transpoziční tabulka technicky není nic jiného než hešovací tabulka (o nich se více můžete dočíst v kuchařce o hešování). Z pozice vytvoříme obrovské číslo (třeba 64-bitové), které by mělo být pokud možno unikátní – nazývá se heš pozice.

Heš modulo velikost tabulky udává, kam máme pozici uložit. Jelikož velikost transpoziční tabulky bývá o dost menší než rozsah hodnot heše a také než počet dosažitelných pozic, často se stane, že políčko v tabulce, kam chceme pozici uložit, je už obsazené.

Tento problém se může řešit různými způsoby, ale vždy se nějaká pozice z tabulky za určitých podmínek vyhazuje (jinak by program spotřeboval moc paměti). Nově ukládaná pozice bývá vždy uložena.

Nejčastěji se do každého políčka tabulky dávají dvě pozice, aby nedocházelo tak často k vyhazování. Když už jsou před ukládáním na políčku dvě pozice, vyhodí se z tabulky ta, jež byla prohledána do menší hloubky, což se musí ukládat v tabulce.

Toto samozřejmě není jediný způsob, jak se chovat, když je buňka v tabulce obsazena, ale bývá lepší než ukládání jedné pozice do jednoho políčka tabulky, jak ukázaly testy.

Abychom ověřili, že máme na konkrétním políčku uloženu hledanou pozici, musíme v tabulce uchovávat i heše pozic. Takže celkově pro každou pozici budeme ukládat její heš, vypočtenou hodnotu, nejlepší tah a hloubku, do níž byla prohledávána.

Může se také stát, že dvě různé pozice dostanou stejnou heš. Aby se to stávalo co nejméně, musí být funkce počítající heš dostatečně náhodná a rozsah hodnot heše velký. Když však problém nastane, často nelze zahrát z pozice tah uložený v transpoziční tabulce. Jinak se tento problém většinou neřeší, jeho výskyt bývá řídký.

Zbývá jen povědět, jak počítat onu heš. Často se používá Zobristovo hešování. Před výpočtem si pro každou kombinaci herního políčka a herního kamene (figurky) vygenerujeme náhodnou hodnotu (v rozsahu heše). Heš konkrétní pozice je xor hodnot kombinací políčka a kamene, jež se momentálně nacházejí na herní desce.

Tedy např. v šachách se heš může počítat takto: náhodné číslo pro bílou věž na A1 xor číslo pro bílého jezdce na B1 xor atd.

Význam transpoziční tabulky vzroste při použití iterativního prohlubování. Při něm prostě prohledávání pouštíme do hloubky 1, pak 2, 3, … , dokud nedojde čas nebo nezjistíme, že pozice je pro nás vyhraná či prohraná. Navíc při prohledávání upřednostňujeme nejlepší tahy z minulého prohledávání do menší hloubky (ty najdeme právě v transpoziční tabulce).

Dalších vylepšení Alfa-beta algoritmu je lidově řečeno hafo. Ostatní však ponecháme na dobrovolné samostudium, které se může hodit při řešení úkolu. Dobrým zdrojem může být Chess Programming Wiki.

Úkol 1 [14b]

Úkol spočívá ve zkoumání a analýze hry Dvonn, neboli jak by měl v takové hře počítač hledat z daného stavu nejlepší tah. Abyste se měli čeho chytit, dostanete návodné otázky. Odladěný program po vás chtít nebudeme, mohlo by vám to sebrat klidně celé jaro. :-)

Aby se vám hra dobře analyzovala, je možné ji hrát třeba na BoardSpace.net (s lidmi i roboty). Pravidla najdete na internetu i v češtině a soupeře si můžete domlouvat na našem fóru (třeba autor seriálu si s vámi rád zahraje). Bohatě stačí, když se zamyslíte nad fází hry po rozmístění kamenů (tj. když už se kameny přemísťují).

Algoritmus na hledání nejlepšího tahu už znáte, pár triků také. Představte si, že chcete robota pro Dvonn implementovat ve svém oblíbeném jazyce, který by ovšem sám o sobě měl být rychlý (což třeba Python není, C# také moc ne). Jak efektivně reprezentovat pozici? Jak s pomocí té reprezentace rychle generovat a provádět tahy?

Zamyslete se rovněž nad ohodnocováním pozice. (Výhra bílého je nějaká velká konstanta H, výhra černého -H, remízová nebo vyrovnaná pozice má 0, vše ostatní je na vás.) I toto by mělo být pekelně rychlé. Namísto slovního popisu můžete dodat rozumně čitelný (pseudo)kód, což lze udělat i u jiných částí úkolu.

Dalším námětem může být řazení tahů dle výhodnosti pro hráče na tahu, které se hodí pro Alfa-beta ořezávání (lepší tahy spíše způsobí ořezání pozice). Jak lze v této hře řadit tahy? Dají se generovat rovnou v nějakém „dobrém“ pořadí?

Úkol je v podstatě dost kreativní a klidně napište i o něčem jiném, co vás při zkoumání hry a přemýšlení o algoritmech napadne, bude to náležitě oceněno.

Udělá nám radost (a vám bodově přilepší) samostudium algoritmů a jiných technik z této oblasti (např. těch, co vylepšují Alfa-beta ořezávání). Z toho pak sepište vlastní poznámky o té technice, případně i o jejím nasazení na Dvonn. Stačí i pár odstavců.

Asi vás zajímá bodování. Plným počtem ohodnotíme řešení obsahující:

• vhodnou reprezentaci pozice a krátký popis, jak implementovat generování tahů,
• způsob ohodnocení pozice, neboli jak a proč se různé vlastnosti stavu hry započítávají do hodnoty, rovněž s krátkým nastíněním efektivní implementace,
• alespoň krátké zamyšlení nad řazením tahů v Dvonnu,
• jak zhruba vypadá herní strom, tedy jak dlouhá je běžná hra (měřeno tahy) a kolik má hráč průměrně tahů v různých částech hry.

Jednotlivé části hodnocení lze nahradit i jiným souvisejícím nápadem, tématem apod. Velmi dobrá řešení (po kvalitativní i kvantitativní stránce) možná obdrží nějaký ten bonusový bod.

Alfa-beta není zdaleka jediným používaným algoritmem v oblasti her, i pokud pomineme algoritmy vhodné jen pro konkrétní hry. V koncovkách se často hodí nasadit Proof Number Search, bylo jím nedávno také zjištěno, že počáteční pozice v anglické dámě je remízová. Dalším zajímavým algoritmem je Monte-Carlo Tree Search, používající pseudonáhodné simulace hry.

Oba tyto algoritmy sice nejsou jednoduché, ale jsou obecně použitelné pro velké množství her. Existují také algoritmy určené jen pro jednu hru založené na jejích specifických vlastnostech.

Tak a je po seriálu o hrách matematických i výpočetně složitějších. Věříme, že vás zaujal a třeba se vám budou nabyté znalosti ještě někdy hodit. Na vaše řešení se těší a hezké jaro přeje

Pavel „Paulie“ Veselý

Řešení